組み合わせは何通り？ 5種類から2種類選ぶ時の計算方法・余事象の使い方

なるほど、アクスタいいんじゃないかな。2種類もらえるということは10通りのもらい方があるということか。これくらいバリエーションがあるとおもしろそうだね。

アクスタの写真をSNSとかにアップしてもらうキャンペーンと組み合わせてもいいかも。そういう撮影できそうな場所も用意して……。

あれアユムさん、話し聞いている？？

アユムさんの質問もよくわからないですが、一体何が起きましたか。

なるほど。では早速、数えていきましょう。

前回、順列を学びましたね。順列は順番があるものの場合の数を計算する方法でした。

今回のアクスタは、順番はありますか？

それでは、アクスタをA、B、C、D、Eとおきましょうか。まず、樹形図をかきましょう。

整理してみましょう。それでは、今の考えで樹形図の続きをかいてみましょうか。

A、Bの組み合わせ、ダブってませんか？

はい、その通りです！

そういうときは、公式を使いましょうか。
まず、組み合わせの公式は、
𝑛C𝑟とし、 𝑛𝑃𝑟 𝑟! で求めます。
これは、𝑛個から𝑟個の個数を選ぶということです。

5種類のアクスタから2種類もらう場合、5C2とあらわします。

コンビネーション（combination）、日本語に訳すと「組み合わせ」、そのまんまですね。

ざっくりいうと、分子は、𝑛から大きい順に数字を𝑟個かける。この例では、5から大きい順に数字を2個かけます（5×4）。これが𝑛𝑃𝑟です。
分母は、𝑟から1までの数字を掛け合わせる。この例では、2から大きい順に数字を2個かけています（2×1）。これが階乗です。

5つから順番に2つをとる場合は、順列の公式を使って5𝑃2。よって5×4＝20です。

2つのものの並び方は、2通りですね。例えば、ABの並び方は、ABかBAしかありませんね。これを「2!（2の階乗）といいます」。

いえ、これは「階乗（かいじょう）」といって、𝑟! のとき𝑟の数から大きい順に1までかけていくことを表しています。

（？ まあいいか）公式にあるように、順列の計算で出る場合の数を、選ぶ個数（𝑟）の階乗で割ることで、組み合わせのパターンの計算になるのです。
なので今回の場合、順列で5つから2つ取り出した5𝑃2を、2つの階乗で割ります。
5C2＝ 5𝑃2 2! となり、計算すると 5×4 2×1 ＝10となります。

別の問題で、この計算を練習しましょうか。イベントの設営にはアユムさんの同期7人から3人お手伝いが必要と聞きましたが、選び方は何通りですか？

その通りです！ アユムさんとほかの2人が何番目に選ばれようと同じ人が集まれば同じグループとなりますよね。

正解です！

適材適所ということですね。

それでは、まず、力仕事が好きな1人を選ぶのは、何通りですか？

几帳面な2人を選ぶのは？

力仕事が好きな3人をA、B、Cとしましょうか。
さて、樹形図をかきましょう！

よいですね。つまり、力仕事好きな人は3人いるので…？

正解です。異なるグループごとに選んで、それをパターンごとに組み合わせるときは掛け算をします。これを「積の法則」といいます。

違います。その席ではありません。掛け算のことを積というので、積の法則です。

几帳面な人、重要ですね。その場合は「余事象」という考え方を使います。先に言っておきますが、余りとなる事象の話であって、ゾウさんの話ではないですよ。

はい！ 象とかゾウという文字が出てくるだけでウキウキします。で、余事象（よじしょう）の話でしたね。余事象というのは、そのできごとが起こらない事象のことです。

例えば、少なくとも1人は几帳面な人を入れるということは、力仕事が好きな人だけのグループではないようにしたいということですよね？

では、几帳面な人が入っているパターンはどんな感じになりますか？

そうですね、でもこの3つをすべて数えるには3回組み合わせの計算が必要です（これはあとでやります）。

上のパターンに含まれないのは「力力力」のパターンだけということに気づきますか？

ということは、すべての組み合わせの数から「力力力」のパターンを引けば「几帳面が少なくとも1人は入る」場合になりますね？

では、やってみましょう。全部の組み合わせは何通りですか？

力仕事が好きな人だけの組み合わせは何通りですか？

つまり……

大正解！
このように、全体の事象（場合の数）の数から起こらない事象（余事象）を引いて目的の場合の数を数えます。

では、余事象の計算が本当に正しいか検証しましょう。先ほど、グループのメンバーは「几几几」「几几力」「几力力」のパターンがあるという話になりましたね。
それぞれのパターンにおいて何通りあるかを確かめましょう。
まず、「几几几」のパターンです。これは、几帳面さんを3人選んでるんですね。

次に「几几力」はどうでしょう。

いいですね。その通りです。

最後に、几帳面さん1人、力仕事好きさん2人ですね。

コホン、コホン。あってます。

そう、積（せき）は掛け算です。でも、ここでは足します。
「几几几」4通り、「几几力」18通り、「几力力」12通りを足すと何通りですか？

このように複数のパターンの場合の数を求めるときは、それぞれのパターンの場合の数を出して足します。これが「和の法則」です。

わー（和）は、足し算ですね。

ここで大切なことは、パターンをきちんとかき出すことです。漏れなくダブりなくかき出すのは、すべての基本。情報をしっかり整理して条件をかきだせるようにしましょう。

はい。何かを選ぶというとき、順列、組み合わせの考え方があることを頭に入れておくと、意外なパターンの見落としなども減りますよ。