【これ解ける？】2の3乗の4乗って2の何乗？｜意外と忘れている指数の計算

SNSでバズった情報って指数関数的に拡散されていくよね。

指数の計算は、前回学習したよね。指数関数的というのは、指数の計算のように増えていくことなんだ。例えば、2の2乗は4、3乗は8、…10乗は1024と、どんどん増えていくよね。

ところで、2の3乗の4乗って2の何乗でしょうか。

このままの勢いで上場しちゃいそうだよね。じゃ、考えておいてね。

累乗の累乗ですね。数式にするとどんな感じですか？

はい。まずは、外の4乗の部分をバラしましょう。(2³)を4回かけてください。

ひとつの（）内には2が3つ (2×2×2)ということがわかりますね。ということは、　(2³)⁴　には、2が全部でいくつありますか。

はい。ということは、　(2³)⁴ =2^(3x4)=2¹²　のようになります。これを文字であらわすと(a^m)ⁿ=a^(m×n)となります。これは指数法則の一つです。

そうですね。これも具体的な数字に置き換えながら覚えていきましょう。
そして、2の3乗の4乗は2の12乗となり、計算すると 4096 です。

アユムさんのために2の累乗をグラフにしました。横軸（𝒳軸）が2をかけた個数、縦軸（𝒴軸）が求められた数値です。

ゾウなんです！そして、3の累乗もグラフに加えました。

そうなんです。指数関数的とは、このようにある値（𝒳）にあわせて変化する量（𝒴）が大きく変化する状態をあらわします。等比級数的、加速度的などとも言いますね。ちなみに、このグラフは 𝒴=a^𝒳  (a>1)なので𝒳が増えると𝒴の値も一気に増えていきますが、𝒳が減ると𝒴の値は 指数関数的に減っていきます。

まあ、そういう解釈でよいでしょう。

(ab)ⁿ=aⁿ bⁿ

(2×3)²=2²×3²になるという関係です。

いえいえ。　たとえば2×3＝6ですよね。(2×3)²=6²=2²×3²ですね。なので、(ab)ⁿ=aⁿ×bⁿ　ということになります。

同様に、 (a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿです。

(a/b)ⁿ=aⁿ/bⁿのように文字であらわされていますが、初めは文字だとややこしく感じるでしょう。そういう時は一度、具体的な数字で考えると理解が早くなりますよ。例えば(2/3)²=4/9=2²/3²ですね。数学の法則は、具体的な数字で考えてから文字式に戻すと、より深く理解できますよ。

Excelでは、POWER関数を用いるか、「^」（累乗の記号）で計算します。

2の4乗は、POWER関数であれば、以下のように引数を設定します。

累乗の記号（^）を用いるときは、以下のような数式とします。

Excelを使っていると、たまに「E＋」みたいなのが出ますよね。あれも指数なんです。
 

その通り。この表示は、列幅に対して数値が大きすぎるときに生じるのです。
たとえば、
「1E+05」は1×10⁵=1×10×10×10×10×10=100000
「1E-05」は 1×(1/10)⁵=1×1/10×1/10×1/10×1/10×1/10=0.00001 
を意味します。

そのとーりです！

GB（ギガバイト）は情報量の単位です。スマートフォンやパソコンのストレージ容量、メモリ容量などを表す際に使われます。

コンピュータなどの機械は電気なので、ONかOFFかしかなく、それぞれ1か0で表されます。これが2進数です。

人間味？2進数についての説明はいずれしますが、2進数システムは2の累乗で表現できます。

ONまたはOFFの情報は、ビット（Bit）という単位であらわし、コンピュータでは8ビットをひとつの大きさとしています。このとき、ONとOFFの2択が8個あるので、8ビットで表せる情報は、2⁸（=256）通りです。

実は少し違います。コンピュータの世界では、情報量を表す単位として「ビット（Bit）」と「バイト（Byte）」という2つの単位を使います。ビットはON/OFFの1つの情報を表す最小単位で、バイトはそのビットを8個まとめた単位なんです。つまり、8ビット = 1バイトという関係になります。

実は、アルファベット1文字を表現するのに8ビット必要なんです。だから、8ビットを1つの単位としてまとめて「バイト」と呼ぶようになりました。スマホやパソコンの容量を表す「GB」の「B」は、この「バイト」のBなんです。

そうです。さて、それでは、4バイトの情報量はいくつでしょうか？

正解です！指数法則を使って、(2⁸)⁴=2³²と考えることもできますよ。

基本情報技術者の試験でも、ちょろっと出るんですよ。

平成28年度秋期　問4
32ビットで表現できるビットパターンの個数は24ビットで表現できる個数の何倍か

32ビットが24ビットの何倍かという話なので……。

2⁸＝4⁴だと考えると少し計算が楽になりますね。

2×2×2×2×2×2×2×2 を考えて、2×2の塊で括ると、4が4つになりますよね。

指数をうまく扱えるようになって、先輩にシースーをおごってもらいましょう！