【計算できる？】鍵穴3つ、鍵12本、3つの鍵穴に正しい鍵が同時にセットされないと開かない。最大試行回数は？

アユムさーん、ちょっと手伝って。

ハマってるのは、鍵のマッチング……。このキャビネットの扉には番号の付いた3つの鍵穴があって、それぞれの鍵穴に対応する正しい鍵をすべてセットしないと開かないんだ。この12個の鍵を片っ端から試すしかなくて...。

鍵は12個あるんだよ…。ってことは、最悪の場合、1320回も試さなくちゃいけないんだ…。

5回試しただけで飽きてきた…。いい眠気覚ましだと思ったけど大後悔だ。大後悔時代だ！

ちょっと待ってー…。アユムさん、見捨てるの！？

あらアユムさん、ニコニコしてますが、いいことでもありましたか？

あらまあ。どういう状況ですか？

ということは、最大1320回試す必要があるんですね…。アユムさん、逃げて正解ですね。

これは順列の問題ですね。解いてみましょう。まず、状況整理です。番号のついた鍵穴が3つ、鍵が12個あります。3つの鍵穴にそれぞれ対応する正しい鍵をすべてセットしないと扉は開きません。では、1つ目の鍵穴にセットする鍵の選び方は、何通りありますか。

では、1つ目の鍵穴にセットする鍵を決めたとき、2つ目の鍵穴にセットする鍵の選び方は全部で何通りありますか。

いいえ、1個目の鍵穴で1つ使ったので、残りは...。

ということは、最後の鍵穴は？

そう。だから12×11×10で1320回になるんです。

絵をかくとわかりやすいので、かいてみましょう。
状況をシンプルにまとめるとこのような樹形図になります。

そうです。ではなぜ、かけ算になるかを見てみましょう。説明のために、鍵には【1】～【12】の番号をつけます。図と照らし合わせて、考えていきましょう。

そうです。12通りありますね。ここでは、鍵【1】をセットしましょう。

では、2つ目の鍵穴に、鍵【2】をセットしましょう。

ここからが重要です。鍵を【1】と【2】と選んでいるとき、3つ目の鍵穴にセットする鍵の選び方は、何通りありますか？

そうです。さらに、【1】‐【3】と選んだ場合は？ 【1】‐【4】と選んだ場合は？

その通りです！ こうして、かけ算になります。そして、1つ目の鍵の選び方が12通りあるので…。

はい。このように「連続で起きていること」「順番があるもの」を「順列」といいます。

分子はnから大きい順に数字をr個かけ合わせます。公式では nPr と書きます。
異なるn個のものから異なるr個のものを順列で取り出すという意味です。（Pは、英語の “permutation” （パーミュテーション）から来ています）

ここで、少し得意になりましょう。先輩の場合は、12個の鍵から番号の付いた鍵穴にそれぞれ正しい3つの鍵を選ぶので、12P3＝12×11×10＝1320になります。

そういえば、キャビネットに何が入っているのですか？

順列の考え方がわかってきましたね。Cという言葉も出てきたところで、組み合わせについて学んでみましょうか。

では、簡単な問題を用意しました。A、B、C、D、Eさんの5人から2人を選びます。最初に選んだ人にガムを、次の人にチョコを渡します。何通りの選び方ができますか？

その通りです。では今度は、この5人から、アメを渡す2人を選んでください。

すばらしい着眼点です。そうなんです。A-Bさんを選ぶのと、B-Aさんを選ぶのは同じ意味になります。このように、選ぶ順番を区別しない選び方の通りを「組み合わせ」といいます。

そうです。Combination（コンビネーション）ですね。順列で求めた数から、A-B、B-Aのような同じ要素による並び順の違いを除外する必要があります。
考え方が難しいので、まずは組み合わせの考え方を樹形図で確認しましょう。
組み合わせは下のようになります。

2人の並び順は 2! (=2×1=2)通りあるので、順列の総数を2!で割ることで組み合わせの数が得られます。

これは階乗（かいじょう）といって、その数から1までのすべての整数をかけていくんです。たとえば、2!=2×1ですね。これで割るので、組み合わせの計算式は次のようになります。
nPr/r!=5P2/2!

組み合わせの公式には「C」を使いますnPr/r!=nCr という関係があって、n個の中からr個を選ぶときに使う公式です。

分子はnから大きい順に数字をr個かけ合わせ、分母はrから1までの数字をかけ合わせます。

では具体的に。5人から2人の組み合わせを選ぶ5C2は、5×4/2×1です。つまり分子はnから大きい順にr個のかけ算、分母はrから1までの数字のかけ算...

まあ、Cを公式として覚えてしまってもいいでしょう。ただ、公式を暗記する前に、理屈を理解しておくと、さらに覚えやすくなりますよ。

ITパスポート平成23年度 秋期 問37　に挑戦しましょう。

身近な例で考えてみましょう。6個の部品があって、これらの部品が正しく組み合わせできるかを確認したい場面です。レゴブロックのように、それぞれの部品が他の部品とちゃんとくっつくか、それを確認する作業と考えてみてください。

その通りです。6個の部品から、相互に結合するので、2つ選ぶということになります。

すばらしい！ そして1組の組み合わせのテストに、4時間かかると書いてありますね。

よくできましたー！ 「順番が大切なのか」「順番は関係ないのか」を考えることで、PとCを使い分けることができます。順列（P）は「順番が大切」、組み合わせ（C）は「順番は関係ない」と覚えておくといいですよ。

それはそうですね。では、お疲れさまでした。