反転幾何を利用した、アポロニウスの問題（CPP）の解までの作図手順 | Insight for WebAnalytics

Insight for WebAnalytics - 2025年8月24日(日) 12:10

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アポロニウスの問題の一つ、1つの円に接し、2つの点を通る円は、一般には下図のように二つの解がある。この問題の解の作図を反転幾何を利用して解くことができたので、紹介する。

反転幾何を利用する方が簡単という話をよく聞くが、本問題に関して言えば52手順で、通常の手順数が38（同条件にすると29）なのに対して大幅に増えるのだが、反転幾何の面白さは味わえた。

・ 1つの円に接し、2つの点を通る円の作図（52手順）

条件：2 点A , B、円C（中心点Cは未知としてみる）が与えられている（赤表示）

解の数：一般解は 2つ

方針（反転の使い方）：点Aを中心とする適当な円を反転円とし、点Bと円Cを反転転換させる。反転円上にBがくるように反転円を設定すれば、点Bは不動点となり動かない。一方円Cは別の円Dに移る。点Bから円Dに引いた接線は無限遠を通る円と考えてもよい。そしてこの「円」は、反転させれば元の円に接して、点Bを通るはず（反転の性質から）。また無限遠を反転変換すると、反転円の中心になるのだったので、共通接線の接点を反転すると、反転円の中心点Aと併せて求める円の円周上の3点が決まる。よって、この3点を通る円を描けばよい。

なお「Bを通り円Dに接する直線」は二つ引くことができるので、それぞれの反形が作れて解の数は二つになる。

作図手順：

第一段階：与円Cの反形を描く（27手順）

①点Aを中心として、半径ABの円C1（黒点円）を描き、これを反転円とする（1）

（つまり、点Aを反転の中心に使い、点Bは反転円上の点になるので反転しても不変の不動点になる）

②与円Cを円C1で反転させた円D （青円）を描く（26）

（「反転先の作図パターン」ページの「反転の中心を通らない円（反転円の外側にある）の反形の作図」を参照のこと。もちろん配置パターンによっては、別のパターンになる場合もあるが、考え方は基本的に変わらない）