反転幾何を利用した、アポロニウスの問題（CCP）の解までの作図手順 | Insight for WebAnalytics

Insight for WebAnalytics - 2025年8月24日(日) 16:02

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1つの点を通り、2 つの円と接する円は、一般には以下のように4 つの解（青円）がある。この問題の解の作図を反転幾何を利用して解くことができたので、紹介する。こちらも手順数から言えば、反転幾何を利用する方が簡単ということにはならなかった。

・1つの点を通り、2 つの円と接する円の作図（133手順）

条件：交わらない与円C1, C2（円の中心点C1, C2は既知とする）、両円の外側にある点Aが与えられている（赤表示）

解の数：一般解は 4つ

方針（反転の使い方）：点Aを中心とした適当な円を反転円とし、二与円を反転転換させる。その上で二つの円の接線の接点を引く。この直線は無限遠を通る円と考えてもよい。そしてこの「円」は2円に接しているので、反転させれば元の2円に接する円になるはず（反転の性質から）。また無限遠を反転変換すると、反転円の中心になるのだったので、共通接線の接点を反転すると、反転円の中心点Aと併せても求める円の円周上の3点が決まる。よって、この3点を通る円を描けばよい。

作図手順：

第一段階：二与円の反形を描き、その2円の共通接線を引く（97手順）

①Aを中心とする反転円Aを描く（1）

②円C1（左図赤円）を反転円Aで反転させた円C1'（左図青円）を描く（26）

（「反転先の作図パターン」ページの「反転の中心を通らない円（反転円の外側にある）の反形の作図」を参照のこと）

③円C2（左図赤円）を反転円Aで反転させた円C2'（左図青円）を描く（26）

④円C1' と円C2' の共通接線m1, m2, m3, m4（右図青線）を引く（44）

（「基本作図パターン集」ページの「2 円の共通外接線を引く」と「2 円の共通内接線を引く」を参照のこと）

第二段階：求める円の一つ（接線m1の場合）を描く（9手順*4パターン）

接線m1の場合の2円との接点をT1, T2とする

①直線AT1を引き、円C1との交点をB1とする。これがT1の逆点になる（1）

②直線AT2を引き、円C2との交点をB2とする。これがT2の逆点になる（1）

③A,B1,B2を通る円C3（青円）を描けば、それが求める解円の一つになる（7）

（PPP問題のページを参照のこと）

後は、第二段階の接線m2, m3, m4の場合を同様に行えばよい。それぞれ対応するm,T,B,C のセットを次のように書きかえれば良い。（m2,T3,T4,B3,B4,C4）,（m3,T5,T6,B5,B6,C5）,（m4,T7,T8,B7,B8,C6）。それぞれ青円が目的の解円として、図だけ列挙しておくことにする。