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アポロニウスの問題の一つ「 2つの点を通り、1つの直線に接する円（LPP）」の解までの作図手順」 からご覧ください。
2つの点を通り、1つの直線に接する円は、一般には下図のように二つの解がある。
・ 2つの点を通り、1つの直線に接する円の作図（29手順）
条件：2 点A , B、直線 l が与えられている（赤表示）
解の数：一般解は 2つ
作図手順：
第一段階：点A , Bを通る円と直線ABを描く（4手順）
①点Aを中心に任意の半径の円Aを描く
②点Bを中心に①と同じ半径の円Bを描く
③円Aと円Bの二つの交点の一つをDとする（0）
④Dを中心に、半径DA（＝DB）の円を描く
⑤直線ABを引き、直線 l との交点を点E（青点）とする
第二段階：点Eを中心とした円を描く（7手順）
①点Eから円Dに接線を一つだけ引く（6）
（「基本作図パターン集」ページの「円外の点から円に接線を引く」を参照のこと）
②その接点を点Tとする（0）
③点Eを中心に半径ETの円（円E）を描く
④円Eと直線 l の二つの交点を点 F, G（青点）とする（0）
作図経過を全て書き込むと分かりづらくなるので、重要な要素のみ残す。
最終段階：点Eを中心とした円を描く（7手順）
①点A, B, Fを通る円C1（青円）を描く（PPPの作図ページを参照）
②点A, B, Gを通る円C2（青円）を描く（PPPの作図ページを参照）
作図経過を書き込むと分かりづらくなるので、結果図のみ示す。
・解説（方べきの定理を利用）
円Dにおいて、方べきの定理から、EA・EB＝(ET)^2。
一方、同じ円E上の 3点であるので、半径ET＝EF＝EG。
よってEA・EB＝(ET)^2＝(EF)^2＝(EG)^2。
一方、円C1 , 円C2が直線 l に接する円だと仮定すると、方べきの定理から、EA・EB＝(EF)^2＝(EG)^2になるはず。
実際そうなっているので、仮定どおり、円C1 , 円C2は直線 l に接する円である。
・ その他の解
直線ABと線 l が平行な場合に解の数は一つになる。
また、2点A , Bが直線 l を挟んで反対側にある場合には、直線 l に接する円は直線 l のどちらかの一方にしか作れないので、要求を満たす円は描けない。
・関連ページへのリンク
10種の問題概観と前提とした定理LPP問題の解までの作図手順（このページ自身）
LLP問題の解までの作図手順
CPP問題の解までの作図手順
CLP問題の解までの作図手順
CLL問題の解までの作図手順
CCP問題の解までの作図手順
CCL問題の解までの作図手順
CCC問題の解までの作図手順
参考文献
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