【3秒クイズ】5433円は3人で割り切れる？ 電卓を使わずに「ひと目」で見抜く方法

先輩

アユムさん、転職するAさんへのプレゼント、同期の3人で買ったんだって？

先輩

ちゃんと3人で割り切れる金額でいいね。

先輩

実はね、5433ってひと目で3の倍数ってわかるんだよ。

先輩

すべての桁の数字を足した合計が3で割れたら、3の倍数なんだ。

先輩

あ、割り切れない関係の上司と会議の時間だ！ ちょっと考えてみてね！

モリ

おお、それは3の倍数の見分け方ですね。たしかに本当です。小学校5年生で習う方もいるみたいです。はじめから5433で考えると、数字が大きくて大変なので、少し小さい数字で考えてみましょうか。

モリ

たとえば、351で考えましょう。351は3で割り切れますか？

モリ

一応、電卓で計算しましょうか。

モリ

はい。では、なぜこんな不思議なことが起きるのか、一緒に考えていきましょう。

モリ

まず、イメージで理解しましょう。351円を、100円3枚分、10円5枚分、1円1枚分だと考えてください。

モリ

この351円を、3人で平等に分けられるかどうかをやってみましょう。100円を、3人で分けるとどうなりますか？

モリ

そうです。10円はどうですか？

モリ

つまり、100円も10円も、3人で分けると必ず1円余ります。

モリ

このルールで分けていくと、手元に「余った1円分」が集まります。100円が3枚分あったので、余りは1×3＝3円分。

モリ

全員に平等に配りきれるかどうかは、この「余った1円分の合計」を3人で分け合えるか、つまり3の倍数かどうかだけで決まります。

モリ

その通りです。だから、351は3で割り切れるんです。そして、この「余りの合計」って……。

モリ

正解です。すべての桁の数字を足した合計というのは、まさにこの「余った1円分の合計」のことなんです。

モリ

では、今のイメージを、数式でも確認してみましょう。中学1年生で学ぶ問題です。

モリ

351という数を、桁ごとに分けて書くとどうなりますか？

モリ

3つの数字で「さんびゃくごじゅういち」を表現したいので、百の位には×100、十の位には×10、一の位には×1をします。

モリ

はい。ここで、100と10を「3の倍数+1」の形に分解します。

モリ

その通り。では、その分解を351の式に当てはめてみましょう。

モリ

では、それぞれのかっこの中を展開してみましょう。（99+1）×3は、かっこの中のそれぞれに×3をかけます。

モリ

はい。では全部つなげると？

モリ

では、並べ替えます。3の倍数の集まりを先に持っていきます。1×3は3、1×5は5、1×1は1なので、後半をまとめると（3+5+1）になります。
＝（99×3+9×5）+（1×3+1×5+1×1）

モリ

ここがポイントです。まず赤文字の（99×3+9×5）を見てください。99は3×33、9は3×3なので、どちらも3の倍数です。

モリ

ここで、分配法則というルールを使います。a×b+a×c＝a×（b+c）と書けるルールで、共通する数を外にくくり出せます。

モリ

例として、6+9で確認します。6＝3×2、9＝3×3と書けますね。ということは、6+9＝3×2+3×3です。

モリ

そうです。分配法則で共通する3を外にくくり出すと、3×（2+3）になります。

モリ

はい。このように、3の倍数どうしを足した数は「3×（整数）」の形にまとめられるので、必ず3の倍数になります。

モリ

はい。99＝3×33、9＝3×3なので、99×3+9×5＝3×33×3+3×3×5。共通する3を外にくくり出すと、3×（33×3+3×5）になります。

モリ

その通りです。では、青文字の（3+5+1）は何だかわかりますか？

モリ

正解です。つまり式全体は、こういう形になっています。

モリ

正解だゾーウ！ これが「すべての桁の数字を足した合計が3の倍数なら、元の数も3の倍数」であることを確認できましたね。

モリ

はい。桁が増えても考え方は変わりません。5433を351のときと同じように式に書くと、5433＝1000×5+100×4+10×3+1×3ですね。

モリ

では、351のときと同じように当てはめてみましょう。

モリ

前半の（999×5+99×4+9×3）は、999も99も9もすべて3の倍数なので、確実に3の倍数ですね。

モリ

はい、5433÷3＝1811で、きれいに割り切れますね。3人で割り勘するなら、1人1811円ずつです。

モリ

イェーイ！