「アポロニウスの問題」10種の問題概観と、作図する際に前提とした定理 | Insight for WebAnalytics

このページでは、「アポロニウスの問題」10種の問題について全体像を概観するのと、コンパスと定規だけで作図するのにあたり、前提として利用している定理について触れることにする。

・「アポロニウスの問題」10種の問題を概観する
「アポロニウスの問題」のホームページでも触れたとおり、3種類のオブジェクト（点と線と円のこと）の組合せで作られる問題の種類は全部で10種類になる。

各列について簡単に説明していこう。まず「略称」だが、点、線、円の組合せの種類をいちいち「一つの直線と二つの点」のように表現するのは冗長なので、簡単に表す。それぞれ英語の頭文字をとって表現するだけのことで、円はCircleなのでC、直線はLineなのでL、点はPointなのでPだ。P , L , Cの表記のどれを優先するかは、人それぞれのようなので、LLPはPLLと表記することもあるようだ。

「解の数」は、各問題に対して答えとなる円の数の最大数のこと。例えば「解の数」が 4 と書いてある問題でも、オブジェクトの配置によっては解の円が二つしか存在しないといったことがある。

「作図手順数」は、定規とコンパスによる操作を何度行えば解に辿り着くのかの回数のこと。作図法は一つとは限らないので、それぞれの問題で提示した手順で作図した場合の凡その手順数である。どの程度作図が面倒なのかの一つの目安程度にして頂きたい。なお最後の方は手順数が膨大だが、類似の反復が多いだけなので、自分で実際に作図する場合以外は無用に恐れることは無いw

「難易度」は、上の「作図手順数」を参考にしつつも、使った作図手法の分かりやすさなどから、自分の主観で 4 段階で数値化してみた。数字の大きい方が難易度が高いという評価だ。難易度の数字が同じ場合でも、この表の順番で下に行くほど難易度が高いという順にしてある。

最後は「解法」の列について。「外接円/内接円」といった辺りは、中学の幾何辺りで多くの人が既にご存じのもの自体なのでそれを伝えたかっただけ。「方冪の定理/相似形」などは、その考え方を利用しているということ。「○○に帰着」というのは、より難易度の低い問題に変換して解けることを表現した。

・前提として使う定理
作図やそれにあたっての説明のところで必要になる概念や定理で、超基本的な部分は暗黙の了解として完全に省略しているが、円と線が絡む定理で、暗黙の了解として完全に省略していいか迷った事柄だけここで述べておきたい。なお証明は本題から逸れるので略す。多くの皆さんは、「ああそんなのがあったよね」で済むと思うが、気になって落ちつかない方は、検索などすれば幾らでも平易な解説を目にすることができると思う。

「円の直径の端に当たる 2点A , Bと円周上の点Dがあるとすると、∠ADBは直角である」

これは円周角の定理の一種（中心角が180度の場合に該当）である。逆に∠ADBが直角であれば、線分ABは円の直径であるとも言える。一応「円周角の定理」も言っておくと、「円周角は中心角の半分」というものである。下記図で確認して欲しい。もう一つは「方べきの定理」だ。よく使うのは、亜種の接する場合の方。アポロニウスの問題は「円と接する」場合が重要だからだ。「点Pから円に接線を引き、その交点をTとした時、PA・PB＝PD・PE＝PT^2が成り立つ（※AB^2 とはABの長さの2乗つまり、AB・ABのことを表す）」である。図示すると以下のようになる。元の「方べきの定理」は、「円周上に 4点があり、2点を結ぶ直線の延長がPで交わる時、PA・PB＝PD・PEが成り立つ」というものだ。図示すると以下のようになる。こちらは円の中に交点がある場合である。